Question

（2010•武漢模擬）數(shù)列{K_n}定義如下：K₁=

2

，K_n+1=

2- 4-Kn2

，n∈N^*．
（1）求K₂，K₃的值；
（2）寫出{K_n}的通項(xiàng)；
（3）若數(shù)列{T_n}定義為：T_n=2ⁿ⁺¹K_n，n∈N^*，
①證明：T_n＜T_n+1，n∈N^*；               ②證明：T_n＜7，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件，n=2，3，直接求K₂，K₃的值；
（2）利用K₁，K₂，K₃的值，找出規(guī)律，直接推測(cè)出{K_n}的通項(xiàng)公式；
（3）①利用數(shù)列{T_n}定義為：T_n=2ⁿ⁺¹K_n，n∈N^*，直接求出

Tn

Tn+1

，推出它的值小于1；
②利用當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，sinx＜x，推出T_n的值，通過放縮得到證明的結(jié)果．

解答：解：（1）K₂=

2- 4-( 2 ) 2

=

2- 2

=2sin

π

8

，K₃=

2- 4-K22

=2sin

π

16

 （其他合理答案也給分）．
（2）設(shè)K₁=2sin

π

4

，則K₂=

2- 4-4sin2 π 4

=

2-2cos π 4

=

2(1-cos π 4 )

=

4sin2 π 23

=2sin

π

23

．
一般地，若K_k=2sin

π

2k+1

，則由遞推關(guān)系可知：K_k+1=2sin

π

2k+2

∴{K_n}的通項(xiàng)公式為 K_n=2sin

π

2n+1

 （n∈N）
（3）①∵T_n=2ⁿ⁺²sin

π

2n+1

，于是

Tn

Tn+1

=

2n+2sin π 2n+1

2n+3sin π 2n+2

=cos

π

2n+2

＜1，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*
②因?yàn)楫?dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，sinx＜x，所以T_n=2ⁿ⁺²sin

π

2n+1

＜2ⁿ⁺²×

π

2n+1

=2π＜7．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查探索性問題，放縮法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．