已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=3e-x.
(1)求f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程;
(2)求最大整數(shù)m(m>1),使得存在實(shí)數(shù)t,對(duì)任意x∈[1,m],都有f(x+t)≤3ex.
分析:(1)根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù),把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率,根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線的方程即可;
(2)先假設(shè)當(dāng)x∈[1,m]時(shí),存在t∈R,有f(x+t)≤3ex,則有f(1+t)≤3e,下面要選擇解析式,所以要分1+t≥0時(shí)和1+t≤0時(shí)兩種情況得t的范圍,同樣地,有f(m+t)≤3em及m≥2,得e
m+t≤em轉(zhuǎn)化為
et≤由t的存在性可知,上述不等式在[-2,0]上必有解,只要求得e
t在[-2,0]上的最小值可即可.
解答:解:(1)當(dāng)x<0時(shí),∵-x>0∴f(x)=f(-x)=3e
-x綜上,
f(x)=k=f′(x)=3e,切線y=3ex.
(2)當(dāng)x∈[1,m]時(shí),有f(x+t)≤3ex,∴f(1+t)≤3e
當(dāng)1+t≥0時(shí),3e
1+t≤3e即e
1+t≤e,1+t≤1,∵-1≤t≤0
當(dāng)1+t≤0時(shí),同理,-2≤t≤-1,∴-2≤t≤0
同樣地,f(m+t)≤3em及m≥2,得e
m+t≤em∴
et≤由t的存在性可知,上述不等式在[-2,0]上必有解.
∵e
t在[-2,0]上的最小值為e
-2,∵
e-2≤,即e
m-e
3m≤0①
令g(x)=e
x-e
3x,x∈[2,+∞).
則g'(x)=e
x-e
3由g'(x)=0得x=3
當(dāng)2≤x<3時(shí),g'(x)<0,g(x)是減函數(shù);當(dāng)x>3時(shí),g'(x)>0,g(x)是增函數(shù)
∴g(x)的最小值是g(3)=e
3-3e
3=-2e
3<0,
又g(2)<0,g(4)<0,g(5)>0,
∴g(x)=0在[2,+∞)上有唯一解m
0∈(4,5).
當(dāng)2≤x≤m
0時(shí),g(x)≤0,當(dāng)x>m
0時(shí),g(x)>0∴在x∈[2,+∞)時(shí)滿足不等式①的最大實(shí)數(shù)解為m
0當(dāng)t=-2,x∈[1,m
0]時(shí),f(x-2)-3ex=3e(e
|x-2|-1-x),在x∈[1,2)時(shí),∵e
|x-2|-1=e
1-x≤1∴f(x-2)-3ex≤0,在x∈[2,m
0]時(shí),f(x-2)-3ex=
3e(ex-3-x)=g(x)≤0綜上所述,m最大整數(shù)為4.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用奇偶性來(lái)求對(duì)稱區(qū)間上的解析式和應(yīng)用單調(diào)性來(lái)解決恒成立問(wèn)題.這類問(wèn)題綜合性較強(qiáng),涉及的知識(shí)和方法較多,思路比較繁雜,解題時(shí)必須嚴(yán)格按照邏輯步驟,層層解決.