Question

當0≤x≤1時，|ax-

1

2

x3|≤1恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為兩個不等式，構(gòu)成不等式組，由于要求參數(shù)a的取值范圍，可以分離參數(shù)a，通過條件0≤x≤1，利用導數(shù)求最值的方法求得a的取值范圍．

解答：解：由|ax-

1

2

x3|  ≤1得-1≤ax-

1

2

x3≤1，
∴

ax- 1 2 x3≥-1 ax- 1 2 x3≤ 1

即

ax≥ 1 2 x3- 1 ax≤ 1 2 x3+1

，
當x=0時，a∈R，當x≠0時，有

a≥ 1 2 x2 - 1 x a≤ 1 2 x2 + 1 x

令f(x)=

1

2

x2 -

1

x

，g(x)=

1

2

x2 +

1

x

，
f′(x)=x+

1

x2

，當0＜x≤1可得f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1】是增函數(shù)，所以f（x）的最大值為f（1）=

1

2

-1=-

1

2

，
同理可以求得g（x）在（0，1】是減函數(shù)，g（x）的最小值為g（1）=

1

2

+1=

3

2

；
∴

a≥- 1 2 a≤ 3 2

即-

1

2

≤a ≤

3

2

．
故答案為：【-

1

2

，

3

2

】．

點評：本題考查絕對值不等式的應用，解題的關鍵是去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為不等式組，用分離參數(shù)后用求導法求最值，即可求得答案．