Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且S_n=（n+1）a_n-

n(n+1)

2

（n∈N^*）．
（I）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（II）若b_n=（2n-1）•2an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由S_n=（n+1）a_n-

n(n+1)

2

（n∈N^*），能證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式．
（II）由b_n=（2n-1）•2an=（2n-1）•2ⁿ，知Tn=1×21+3×22+5×23+…+（2n-1）×2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（I）∵S_n=（n+1）a_n-

n(n+1)

2

（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-S_n-1=[（n+1）a_n-

n(n+1)

2

]-[nan-1-

(n-1)n

2

]，
化簡(jiǎn)，得a_n-a_n-1=1，（n≥2），
即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（II）∵b_n=（2n-1）•2an=（2n-1）•2ⁿ，
∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+（2n-1）×2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-Tn=2+2×(22+23+…+2n)-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×

22(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-（2n-3）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．