已知：在數(shù)列{an}中，a1=數(shù)學公式，an+1=數(shù)學公式an+數(shù)學公式．
（1）令bn=4nan，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）若Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，Sn+λnan≥數(shù)學公式對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

解：（1）由an+1=an+，
得4n+1an+1=4nan+2．
所以bn+1=bn+2，即bn+1-bn=2．
故數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）因為數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以bn=1+2（n-1）=2n-1．
因為bn=4nan，
所以an=．
則Sn=+++…++．
又Sn=+++…++．
所以Sn=+2（+++…+）-
=+2×-．
所以Sn=-×-×．
因為Sn+λnan≥對任意n∈N*恒成立，
所以-×-×+λ×≥對任意n∈N*恒成立．
即λ≥×+對任意n∈N*恒成立
因為n≥1，2n-1≥1，
所以×≤，當且僅當n=1時取等號．
又因為≤，當且僅當n=1時取等號．
所以×+≤，當且僅當n=1時取等號
所以λ≥，所以λ的最小值為．
分析：（1）由題設條件知4n+1an+1=4nan+2．所以bn+1=bn+2，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由題設條件知bn=1+2（n-1）=2n-1．再由bn=4nan，知an=．再由錯位相減法可求出Sn=-×-×．然后根據(jù)Sn+λnan≥對任意n∈N*恒成立，可求出實數(shù)λ的最小值．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要注意錯位相減法的靈活運用，認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：在數(shù)列{an}中，a1=
1
4
，an+1=
1
4
an+
2
4n+1
．
（1）令bn=4nan，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）若Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，Sn+λnan≥
5
9
對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}的前n項和sn=
an2+an
2
，bn=(1+
1
2an
)an(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）定理：若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且f'（x）存在，則當x1＞x2（x1，x2∈D）時，總有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜f′(x1)，請根據(jù)上述定理，且已知函數(shù)y=xn+1（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函數(shù)，判斷bn與bn+1的大小；
（Ⅲ）求證：
3
2
≤bn＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分15分）

已知：在數(shù)列{an}中，a1＝ ，an+1＝ an＋．

（1）令bn＝4n an，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）若Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，Sn＋λnan≥ 對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分15分）

已知：在數(shù)列{an}中，a1＝ ，an+1＝ an＋．

（1）令bn＝4n an，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）若Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，Sn＋λnan≥ 對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

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