Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），已知x=-2和x=1為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a和b的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)M，使方程f（x）=M有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根？若存在，求出實(shí)數(shù)M的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=（x²+2x）e^x-1+3ax²+2bx，…（1分）
∵x=-2和x=1為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（-2）=f′（1）=0，…（2分）
即，解得，…（3分）
所以，，b=-1．…（4分）
（Ⅱ）∵，b=-1，∴f′（x）=（x²+2x）e^x-1-x²-2x=（x²+2x）（e^x-1-1），…（5分）
令f′（x）=0，解得x₁=-2，x₂=0，x₃=1，…（6分）
∵令f′（x）＜0，可得x∈（-∞，-2）∪（0，1），令f′（x）＞0，可得x∈（-2，0）∪（1，+∞），…（8分）
∴f（x）在區(qū)間（-2，0）和（1，+∞）上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間（-∞，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減的．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，由（Ⅱ）得函數(shù)的極大值為f（x）_極大值=f（0）=0，…（10分）
函數(shù)的極小值為f（x）_極小值=f（-2）=，和f（x）_極小值=f（1）=- …（11分）
又，…（12分）
f（-3）=（-3）²e^-4+9-9=9e^-4＞0，f（3）=3²e²-9-9=9（e²-2）＞0，…（13分）
通過(guò)上面的分析可知，當(dāng)M∈時(shí)方程f（x）=M恰有4個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
所以存在實(shí)數(shù)M，使方程f（x）=M有4個(gè)根，其M取值范圍為．…（14分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=-2和x=1為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，可得導(dǎo)數(shù)值為0，即可方程，即可求實(shí)數(shù)a和b的值；
（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）確定函數(shù)的極大值與極小值，即可知使方程f（x）=M有4個(gè)根的M取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查方程根問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于中檔題．