Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
（3）若對于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，利用f（0）=0且f（-1）=-f（1），列出關(guān)于a、b的方程組并解之得a=b=1；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，任取實數(shù)x₁、x₂，通過作差因式分解可證出：當(dāng)x₁＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即得函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為：k＜3t²-2t對任意的t∈R都成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1）
∴

1-2-1

2-1+a

=-

1-2

2 +a

，解之得a=1
經(jīng)檢驗當(dāng)a=1且b=1時，f（x）=

1-2x

2x+1

，滿足f（-x）=-f（x）是奇函數(shù)．    …（4分）
（2）由（1）得f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
任取實數(shù)x₁、x₂，且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，可得2x1＜2x2，且(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)；     …（8分）
（3）根據(jù)（1）（2）知，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）
也就是：t²-2t＞-2t²+k對任意的t∈R都成立．
變量分離，得k＜3t²-2t對任意的t∈R都成立，
∵3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

，當(dāng)t=

1

3

時有最小值為-

1

3

∴k＜-

1

3

，即k的范圍是（∞，-

1

3

）．                                  …（12分）

點評：本題以含有指數(shù)式的分式函數(shù)為例，研究了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，并且用之解關(guān)于x的不等式，考查了基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中檔題．