Question

如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，側(cè)面VAD⊥底面ABCD，VA=VD，E為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）當(dāng)直線VB與平面ABCD所成的角為30°時，求面VBE與面VCD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接BD．證明AD⊥VE，AD⊥BE，通過VE∩BE=E，推出AD⊥平面VBE．利用BC∥AD，BC⊥平面VBE，然后證明平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）分別以EB、ED、EV為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出C，D，V的坐標(biāo)，利用，推出平面VCD的法向量，求出平面VBE的法向量=（0，1，0），利用cos=，求面VBE與面VCD所成銳二面角的大�。�
解答：解：（Ⅰ）證明：連接BD．
由已知，側(cè)面VAD和△ABD，VA=VD，是以AD為公共底邊的等腰三角形，
E為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥VE，AD⊥BE，
又VE∩BE=E，∴AD⊥平面VBE．
∵BC∥AD，∴BC⊥平面VBE，
又BC?平面VBC，
∴平面VBE⊥平面VBC．
（Ⅱ）∵側(cè)面VAD⊥底面ABCD，∴VE⊥底面ABCD，
當(dāng)直線VB與平面ABCD所成的角為30°，即∠VBE=30°，
由已知，BE=3，BC=，DE=，VE=BEtan30°=．
分別以EB、ED、EV為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（3，，0），D（0，，0），V（0，0，）．
設(shè)為平面VCD的法向量，則==0，
∵，，
∴，取，
又=（0，1，0）為平面VBE的法向量，
cos====．
所以面VBE與面VCD所成銳二面角的大小為arccos．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查平面與平面垂直的證明方法，平面與所成二面角的大小的向量求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，�？碱}型．