Question

已知函數．
（I）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍；
（II）若對任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

解：（I）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即恒成立，
亦即x²+2x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立，
即a＞-x²-2x，x∈[1，+∞）恒成立，
即a＞（-x²-2x）_max，x∈[1，+∞），
而（-x²-2x）_max=-3，x∈[1，+∞），
∴a＞-3．
所以對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，實數a的取值范圍為{a|a＞-3}；（6分）
（II）∵a∈[-1，1]時，f（x）＞4恒成立，恒成立；
∴x²-2x+a＞0對a∈[-1，1]恒成立，
把g（a）=a+（x²-2x）看成a的一次函數，
則使g（a）＞0對a∈[-1，1]恒成立的條件是，．
又x≥1，∴，（12分）
分析：（I）先把問題轉化為x²+2x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立，即a＞-x²-2x，x∈[1，+∞）恒成立，然后求出不等式右邊的最大值即可求出實數a的取值范圍；
（II）先把問題轉化為x²-2x+a＞0對a∈[-1，1]恒成立，再把g（a）=a+（x²-2x）看成a的一次函數，找到g（a）＞0對a∈[-1，1]恒成立的條件，解之即可求實數x的取值范圍．
點評：本題主要考查函數恒成立問題以及轉化思想的應用和計算能力，屬于對知識和思想方法的綜合考查，屬于中檔題．