Question

定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面是關于f（x）的判斷：
（1）f（x）的周期為2；　
（2）f（x）關于點P（）對稱　　
（3）f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（4）f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
其中正確的判斷的個數(shù)為

1. A.
   1個
2. B.
   2 個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：由條件求得f（x+2）=f（x），函數(shù)的周期為2，函數(shù)的圖象每隔半個周期出現(xiàn)一條對稱軸，f（x）的圖象關于直線x=1對稱，函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，f（）=0，f（x）的圖象關于點P（）對稱，綜上可得結論．
解答：定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），故有f（x+2）=f（x），
故函數(shù)的周期為2，故函數(shù)的圖象的對稱軸有無數(shù)個，每隔半個周期出現(xiàn)一條對稱軸，
故f（x）的圖象關于直線x=1對稱，故（1）、（3）正確．
再由函數(shù)f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，可得函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，故（4）不正確．
再由f（x）=-f（x+1），可得f（）=-f（）=-f（-2）=-f（-）=-f（），
故有f（）=0，故f（x）的圖象關于點P（）對稱，故（2）正確．
綜上可得，（1）、（2）、（3）正確，（4）不正確，
故選C．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性和周期性的應用，函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題．