Question

在三棱臺ABC－中，側(cè)棱⊥底面ABC，∠ABC＝∠＝．

　　

(Ⅰ)求證：

(Ⅱ)若＝1，AB＝2，求二面角B－－C的正切值；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，求點到平面的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明： 　　∵⊥平面ABC， 　　∴⊥BC． 　　又∠ABC＝， 　　∴BC⊥AB． 　　由于∩AB＝B， 　　∴BC⊥平面， 　　∴在平面上的射影， 　　∵， 　　 (Ⅱ)解：設(shè)＝α，由(Ⅰ)知α為B－－C的平面角． 　　取AB的中點D，連，則為的BA邊上的中線． 　　由于BD＝，又BD∥⊥BD． 　　∴四邊形是矩形． 　　∴⊥BA，又， 　　∴是等腰直角三角形． 　　從而是正方形． 　　∴． 　　∵，∴CB＝BA＝2． 　　∵BC⊥面， 　　∴BC⊥． 　　∴在中，得tanα＝，∴α＝arctan． 　　∵⊥面ABC，， 　　∴⊥面ABC． 　　由D作DE⊥CA交CA于E，連，則⊥CA． 　　∴為二面角－CA－B的平面角． 　　設(shè)＝β． 　　由， 　　∴在中，， 　　∴α＝β，即二面角B－－C與二面角－CA－B的大小相等， (Ⅲ)解： 　　∵∥BC，∴ 　　∴點的距離． 　　連于O， 　　∵四邊形． 　　由(Ⅰ)知BC⊥平面， 　　∴⊥BC 　　∴． 　　∴的距離． 　　∵， 　　∴點到平面的距離為，即點的距離為．