Question

已知Rt △ABC ，|AB|=2a(a>0) ，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程，

Answer 1

解：以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則有A（-a，0），B(a，0)，設(shè)頂點(diǎn)C(x，y).  
  
解法一：由△ABC是直角三角形可知|AB|²=|AC|²+|BC|²，
即(2a)²=(x+a)²+y²+(x-a)²+y2，
化簡(jiǎn)得x²+y²=a²．
依題意可知x≠±a．    
故所求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x²+y²=a²（x≠±a）．    
解法二：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，
所以k_AC·k_BC=-1，
則(x≠±a)，
化簡(jiǎn)得直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x²+y²=a²（x≠±a）．    
解法三：由△ABC是直角三角形可知|OC|=|OB|，
所以=a，
化簡(jiǎn)得直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x²+y²=a²(x≠±a).