Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E為CD的中點(diǎn)．
（I）證明：CD⊥平面SAE；
（II）求側(cè)面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值．

Answer 1

解：（I）如圖，連接AC
∵在菱形ABCD中，∠ADC=60°，E是線段CD的中點(diǎn)
∴CD⊥AE
又∵SA=AB=2，SB=2
∴SA²+AB²=8=SB²，可得SA⊥AB．同理得到SA⊥AD
∵AB、AD是平面ABCD內(nèi)的相交直線
∴SA⊥平面ABCD
又∵CD?平面ABCD，∴SA⊥CD
∵CD⊥AE，AE、SA是平面SAE內(nèi)的相交直線
∴CD⊥平面SAE
（II）取BC的中點(diǎn)F，連接AF、SF
由（I）的證明過程，類似地可得AF⊥BC且SF⊥BC
∴∠SFA為二面角S-BC-A的平面角
∵Rt△ASF中，AF=，SA=2
∴tan∠SFA==
即側(cè)面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值為．
分析：（I）連接AC，結(jié)合已知條件，可在菱形ABCD中證出CD⊥AE．再在△SAB、△SAD中利用勾股定理的逆定理，證出SA⊥AB和
SA⊥AD，結(jié)合線面垂直的判定定理得到SA⊥平面ABCD，從而SA⊥CD．最后結(jié)合CD⊥AE，AE、SA是平面SAE內(nèi)的相交直線，可得CD⊥平面SAE；
（II）取BC的中點(diǎn)F，連接AF、SF，可證出AF⊥BC且SF⊥BC，所以∠SFA為二面角S-BC-A的平面角．最后在Rt△ASF中，利用正切的定義得到tan∠SFA==，即得側(cè)面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值．
點(diǎn)評：本題給出底面為菱形、一條側(cè)棱垂直于底的四棱錐，要我們證明線面垂直并求二面角的正切值，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和平面與平面所成角等知識點(diǎn)，屬于中檔題．