Question

8．如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，M，N分別為A₁D₁和AA₁的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�
①C₁M∥AC；
②BD₁⊥AC；
③BC₁與AC的所成角為60°；
④B₁A₁、C₁M、BN三條直線交于一點(diǎn)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)平行的定義，可判斷①；先證明AC⊥平面BDD₁，可判斷②；根據(jù)△A₁BC₁為等邊三角形，可判斷③；根據(jù)公理3判斷出三線共點(diǎn)，可判斷④

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，M，N分別為A₁D₁和AA₁的中點(diǎn)，
∴A₁C₁∥AC，C₁M與A₁C₁相交，故①錯(cuò)誤；
BD⊥AC，DD₁⊥AC，故AC⊥平面BDD₁，故BD₁⊥AC，故②正確；、
連接BA₁，則△A₁BC₁為等邊三角形，即BC₁與A₁C₁的所成角為60°；
由①中A₁C₁∥AC，可得BC₁與AC的所成角為60°，故③正確；
④由MN∥AD₁∥BC₁，可得C₁M、BN共面，
則C₁M、BN必交于一點(diǎn)，
且該交點(diǎn)，必在B₁A₁上，
故B₁A₁、C₁M、BN三條直線交于一點(diǎn)，故④正確；
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了空間直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．