Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若關(guān)于x的不等式a＞f（x）有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令y=|2x+1|-|x-4|，去掉絕對值化簡解析式并作出圖象，求出函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|與直線y=2的交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圖形得到答案．
（2）結(jié)合y=|2x+1|-|x-4|圖象可求得f（x）_min，從而可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）令y=|2x+1|-|x-4|，
則y=

-x-5，x≤- 1 2 3x-3，- 1 2 ＜x＜4 x+5，x≥4

，
作出函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|的圖象，它與直線y=2的交點(diǎn)為（-7，2）和 (

5

3

，2)，
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集為（-∞，-7）∪（

5

3

，+∞）．

（2）由圖可知f（x）_min為直線y=3x-3與y=-x-5交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由

y=3x-3 y=-x-5

解得y=-

9

2

，
∴f（x）_min=-

9

2

．
∴要使a＞f（x）有解，則a＞-

9

2

．
∴所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-

9

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．化簡函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|的解析式，做出圖象，是此題的難點(diǎn)．