Question

過點O引三條射線OA，OB，OC，已知∠AOB=θ，∠AOC=β，∠BOC=α，且平面AOB⊥平面BOC，則有（ ）
A．cosα=cosθ•cosβ
B．cosβ=cosθ•cosα
C．sinα=sinθ•sinβ
D．sinβ=sinθ•sinα

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)平面AOB⊥平面BOC，我們可以構(gòu)造直角三角形，不妨設(shè)A′B垂直平面BOC，C′B垂直平面AOB．則∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，從而在直角三角形中，利用三角函數(shù)表示出相應(yīng)的邊，根據(jù)余弦定理：OA′²+OC′²-A′C′²=2OA′×OC′×cosβ，AC′²=A′B²+BC′²，將相應(yīng)的邊代入化簡即可．
解答：解：平面AOB⊥平面BOC，我們設(shè)A′B垂直平面BOC′，C′B垂直平面AOB′．
則∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，∠A′OB=θ，∠A′OC′=β，∠BOC′=α
那么就有：OB=OA′cosθ=OC′cosα．A′B=OA′sinθ，BC′=OC′sinα．
根據(jù)余弦定理：OA′²+OC′²-A′C′²=2OA′×OC′×cosβ，AC′²=A′B²+BC′²
所以：OA′²+0C′²-[（OA′sinθ）²+（OC′sinα）²]=2OA′×OC′×cosβ…（*）
∵OB=OA′cosθ=OC′cosα
∴OA′=，代入（*）中．可以得到：
cosβ=cosθcosα
故選B．
點評：本題以面面垂直為載體，考查余弦定理的運用，考查勾股定理，屬于中檔題．