Question

求通過兩條直線x+3y-10=0和3x-y=0的交點，且距原點為1的直線方程．

Answer 1

解：（解法一）由方程組解得兩條直線的交點為A（1，3）
當直線的斜率存在時，設所求直線的方程為：y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0
由點到直線的距離公式可得=1，解得k=，
即直線方程為：4x-3y+5=0，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為x=1也符合題意，
故所求直線的方程為：4x-3y+5=0或x=1．
（解法二）：由直線系的知識可設所求直線的方程為：（x+3y-10）+λ（3x-y）=0，
即（1+3λ）x+（3-λ）y-10=0，則
解得λ=±3，故所求直線的方程為：4x-3y+5=0或x=1．
分析：（解法一）由方程組解得兩條直線的交點為A（1，3），然后由點斜式寫方程，通過點到直線的距離求斜率，但要考慮斜率不存在時是否合適；
（解法二）由直線系的知識可設所求直線的方程為：（x+3y-10）+λ（3x-y）=0，通過點到直線的距離求λ，即可得答案．
點評：本題為直線方程的求解，設置未知量把問題轉化為方程求解的問題來做是解決問題的關鍵，屬基礎題．