Question

某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣(mài)出432件．如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x（單位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品售價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件．
（Ⅰ）將一個(gè)星期內(nèi)該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)商品降價(jià)x元，根據(jù)每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x（單位：元，0≤x≤21）的平方成正比，求出比例系數(shù)，得到每星期多賣(mài)的商品數(shù)，再根據(jù)銷(xiāo)售利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，即可得到答案；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式，判斷出用導(dǎo)數(shù)求最值，即求出f'（x）=0的根，比較根的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的大小，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)商品降價(jià)x元，記商品在一個(gè)星期的獲利為f（x），
∵每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x（單位：元，0≤x≤21）的平方成正比，
∴每個(gè)星期多賣(mài)的商品數(shù)為kx²，
∵商品售價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件，則24=k•2²，
∴k=6，
∴每個(gè)星期多賣(mài)的商品數(shù)為6x²，
∴f（x）=（30-x-9）（432+6x²）=-6x³+126x²-432x+9072，x∈[0，21]；
（Ⅱ）根據(jù)（1），則f'（x）=-18x²+252x-432=-18（x-2）（x-12），
令f'（x）=0，解得x=2或x=12，
∵f（0）=9072，f（2）=8664，f（12）=11664，f（21）=0，
∴當(dāng)x=12時(shí)，f（x）取得最大值11664，
所以定價(jià)為18元才能使一個(gè)星期該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．