Question

已知函數(shù)f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，數(shù)列{x_n}滿足：x₁=a（a∈），g（x_n+1）=f（x_n）n∈N^*．
（1）當(dāng)a=時，求x₂，x₃的值并寫出數(shù)列{x_n}的通項公式（不要求證明）；
（2）求證：當(dāng)x≥0時，-x≤f′（x）≤x；
（3）求證：…+＜π（n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=時，函數(shù)f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，由g（x_n+1）=f（x_n）n∈N^*，得，故．．由此猜想：．
（2）設(shè)F（x）=f′（x）-x=sinx-x，則F′（x）=cosx-1≤0，故F（x）≤F（0）=0，f′（x）≤x，由此能夠證明當(dāng)x≥0時，-x≤f′（x）≤x．
（3）當(dāng)x≥0時，|f′（x）|≤|x|，當(dāng)x＜0時，|f′（x）|≤|x|，對?x∈R，恒有：|f′（x）|≤|x．由此入手能夠證明…+＜π（n∈N^*．
解答：（1）解：當(dāng)a=時，
∵函數(shù)f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，
∴由g（x_n+1）=f（x_n）n∈N^*，
得，
∵，
∴，∴．
，∴．
由此猜想：．…（2分）
（2）證明：設(shè)F（x）=f′（x）-x=sinx-x，
則F′（x）=cosx-1≤0，
∴F（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，即F（x）≤F（0）=0，
即f′（x）≤x，…（4分）
設(shè)H（x）=f′（x）+x=sinx+x，則H′（x）=cosx+1＞0，
∴H（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
即H（x）≥H（0）=0，即f′（x）≥-x，…（5分）
∴當(dāng)x≥0時，-x≤f′（x）≤x．                  …（6分）
（3）證明：由（1）知：當(dāng)x≥0時，|f′（x）|≤|x|，
同理可證：當(dāng)x＜0時，|f′（x）|≤|x|，即對?x∈R，恒有：|f′（x）|≤|x|．…（7分）
由g（x_n+1）=f（x_n）n∈N^*，
得，
∴
=
≤ （n∈N^*）    …（8分）
∴，
，…，，
從而，…（10分）
…+
≤[ …（11分）

=[1+2（1-）]
=[3-]，…（13分）
＜π，a∈，
∴…+＜π（n∈N^*． …（14分）
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．