Question

函數(shù)f（x）=x⁴-2ax²，g（x）=1．
（1）求證：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象恒有公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，若函數(shù)f（x）圖象上任一點(diǎn)處切線斜率均小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，關(guān)于x的不等式|f′（x）|＞g（x）的解集為空集，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的有實(shí)數(shù)解，換元轉(zhuǎn)化為二次方程有非負(fù)實(shí)數(shù)根，由送別式恒大于0與兩根之積為負(fù)得二次方程一定有正根，問(wèn)題得證．
（2）求導(dǎo)，由題意得導(dǎo)數(shù)恒小于1，分離參數(shù)a，設(shè)另一邊為函數(shù)，求導(dǎo)得導(dǎo)數(shù)恒大于0，函數(shù)在（0，1]上遞增，得最值，求出參數(shù)a的取值范圍；
（3）把函數(shù)解析式代入不等式，考慮反面，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，設(shè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的為F（x），求導(dǎo)，得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，討論函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，令最值的絕對(duì)值小于等于1，得實(shí)數(shù)a的值．
解答：解：（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）
即證函數(shù)h（x）與x軸有交點(diǎn)，
即證方程x⁴-2ax²-1=0有實(shí)根，設(shè)t=x²
即證方程t²-2at-1=0有非負(fù)實(shí)數(shù)根，
而△=4a²+4＞0，t₁t₂=-1＜0
∴方程t⁴-2at-1=0恒有正根
∴f（x）與g（x）圖象恒有公共點(diǎn)（4分）
（2）f′（x）=4x³-4ax
∵當(dāng)0＜x≤1時(shí)4xa＞4x³-1恒成立
即，設(shè)y=x²-，
則y′=2x+＞0，
∴y=x²-在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴a＞1-=
∴a的取值范圍為（8分）
（3）由題設(shè)知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|4x³-4ax|≤1恒成立
記F（x）=4x³-4ax
若a≤0則F（1）=4（1-a）≥4不滿足條件
故a＞0而
①當(dāng)時(shí)，即0＜a＜3時(shí)，F(xiàn)（x）在上遞減，在上遞增，
于是
∴，∴，∴
②當(dāng)時(shí)，即a≥3時(shí)，F(xiàn)（x）在[0，1]上遞減，
于是矛盾
綜上所述：（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，一是當(dāng)問(wèn)題從正面不容易解決時(shí)，注意從反面進(jìn)行突破，這是一難點(diǎn)，二是把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，三是在求最值過(guò)程中，需求函數(shù)的單調(diào)性，在求單調(diào)性的過(guò)程中，要分類(lèi)討論，這又是一難點(diǎn)，四把問(wèn)題最后再轉(zhuǎn)化為求不等式．