Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個側面均為正方形，邊長為1，D為底邊AB的中點，E為側棱CC₁的中點，AB₁與A₁B的交點為O．
（Ⅰ）求證：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求證：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）求點C到平面A₁EB的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設AB₁和A₁B的交點為O，根據(jù)EC∥OD，且EC=OD，得到四邊形ECOD為平行四邊形，故EO∥CD，CD∥平面A₁BE．
（Ⅱ） 證明CD⊥平面A₁ABB₁ ，可得EO⊥平面A₁ABB₁，故有EO⊥AB₁ ，由正方形的兩對角線的性質可得 AB₁⊥A₁B，
 從而證得 AB₁⊥平面A₁BE．
 （Ⅲ）點C到平面A₁EB的距離等于點D到平面A₁EB的距離，由（Ⅱ）知，平面A₁EB⊥平面ABB₁A₁，易求距離為 =，運算得到結果．
解答：證明：（Ⅰ）設AB₁和A₁B的交點為O，連接EO，連接OD．因為O為AB₁的中點，D為AB的中點，所以OD∥BB₁，
且．  又E是CC₁中點，則EC∥BB₁且，即EC∥OD，且EC=OD，
則四邊形ECOD為平行四邊形，所以EO∥CD． 又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，則CD∥平面A₁BE．

（Ⅱ） 因為三棱柱各側面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，所以BB₁⊥平面ABC．
因為CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD． 由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁，所以EO⊥AB₁．
因為側面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．  又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，所以AB₁⊥平面A₁BE．
（Ⅲ）點C到平面A₁EB的距離等于點D到平面A₁EB的距離，由（Ⅱ）知，平面A₁EB⊥平面ABB₁A₁，
易求距離為 ==．

點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，直線和平面平行的判定定理以及直線和平面垂直的判定定理 的應用，
判斷點C到平面A₁EB的距離等于點D到平面A₁EB的距離，是解題的難點．