已知數(shù)列{an}滿足an+1=
an-2
2an-3
,n∈N*a1=
1
2

(Ⅰ)計算a2,a3,a4;(Ⅱ)猜想數(shù)列的通項an,并利用數(shù)學歸納法證明.
分析:(Ⅰ)由遞推公式,令n=2,3,4易得;
(Ⅱ)通過a2,a3,a4猜想,再用數(shù)學歸納法證明,要注意分兩步證明.
解答:解:(Ⅰ)由遞推公式,得a2=
a1-2
2a1-3
=
1
2
-2
2•
1
2
-3
=
3
4
,(3分)
(Ⅱ)猜想:an=
2n-1
2n
.(5分)
證明:①n=1時,由已知,等式成立.(6分)
②設(shè)n=k(k∈N*)時,等式成立.即ak=
2k-1
2k
.(7分)
所以ak+1=
ak-2
2ak-3
=
2k-1
2k
-2
2•
2k-1
2k
-3
=
2k-1-4k
4k-2-6k
=
2k+1
2k+2
=
2(k+1)-1
2(k+1)
,
所以n=k+1時,等式成立.(9分)
根據(jù)①②可知,對任意n∈N*,等式成立.即通項an=
2n-1
2n
點評:本題主要考查推理和數(shù)學歸納法的證明方法及思路.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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