Question

1．已知a₁=$\frac{1}{4}$，a_n=$\frac{1}{2}{a_{n-1}}+{2^{-n}}$（n≥2）
（1）計算這個數(shù)列前4項，并歸納該數(shù)列一個通項公式．
（2）用數(shù)學歸納法證明上述歸納的通項公式．

Answer 1

分析 （1）把n=1，2，3代入遞推公式即可求出；
（2）先驗證n=1，再假設(shè)n=k猜想成立，推導n=k+1是否成立即可．

解答 解：（1）${a_1}=\frac{1}{4}，{a_2}=\frac{3}{8}，{a_3}=\frac{5}{16}，{a_4}=\frac{7}{32}$，
猜想：${a_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$．
（2）當n=1時，顯然成立；
假設(shè)n=k命題成立，即${a_k}=\frac{2k-1}{{{2^{k+1}}}}$，則${a_{k+1}}=\frac{1}{2}×\frac{2k-1}{{{2^{k+1}}}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}=\frac{2（k+1）-1}{{{2^{（k+1）+1}}}}$．
∴當n=k+1時，命題也成立，
故，對任意的n∈N₊，${a_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$恒成立．

點評 本題考查了數(shù)學歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題．