Question

用0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)．
（1）這樣的六位奇數(shù)有多少個？
（2）數(shù)字5不在個位的六位數(shù)共有多少個？
（3）數(shù)字1和2不相鄰，這樣的六位數(shù)共有多少個？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，首先分析末尾數(shù)字，易得末位數(shù)字可以為1、3、5，可得其取法數(shù)目，其首位數(shù)字不能為0，可得其取法數(shù)目，則其他4個數(shù)字，排在中間4位，有A₄⁴種排法，由分步計數(shù)原理，計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，數(shù)字5不在個位，且0不能在首位，首先不考慮題意要求，計算6個數(shù)字排成一排的排法數(shù)目，再分別計算數(shù)字5在個位，0在首位和5在個位且0在首位的情況數(shù)目，進而計算可得答案；
（3）首先計算用這6個數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)的數(shù)目，再計算數(shù)字1和2相鄰的六位數(shù)的數(shù)目，由排除法計算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，末位數(shù)字可以為1、3、5，有A₃¹種取法，
首位數(shù)字不能為0，有A₄¹種取法，
其他4個數(shù)字，排在中間4位，有A₄⁴種排法，
則六位奇數(shù)共有A₃¹A₄¹A₄⁴=288（個）
（2）根據(jù)題意，6個數(shù)字排成一排，共有A₆⁶種排法，
數(shù)字5不在個位，5在個位的有A₅⁵種情況，
而0不能在首位，0在首位的有A₅⁵種情況，
其中，5在個位且0在首位，即其他4個數(shù)字，排在中間4位，有A₄⁴種排法，
則數(shù)字5不在個位的六位數(shù)共有A₆⁶-2A₅⁵+A₄⁴=504個，
（3）用0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，
0不在首位，則首位有A₅¹種情況，其他5個位置有A₅⁵種情況，即可以組成A₅¹A₅⁵個六位數(shù)，
其中，數(shù)字1和2相鄰時的情況有A₄¹A₄⁴A₂²種，即1、2相鄰的六位數(shù)有A₄¹A₄⁴A₂²個，
則數(shù)字1和2不相鄰的六位數(shù)共有A₅¹A₅⁵-A₄¹A₄⁴A₂²=408個．

點評：本題考查排列、組合的應(yīng)用，解題時注意題干條件對數(shù)的限制，其次還要注意首位數(shù)字不能為0．