Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=4n+3．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求a₁的值；
（2）當(dāng)a₁=2時，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若對任意n∈N^*，都有

an2+an+12

an+an+1

≥4成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a₃-a₁=4，運(yùn)用等差數(shù)列求解：2d=4，d=2，運(yùn)用2a₁+d=7，求出a₁即可．
（2）得出a_n+2-a_n=4，可判斷奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別構(gòu)成等差數(shù)列，公差為4，首項(xiàng)分別為2，5．
當(dāng)n為偶數(shù)時，S=（a₁+a₂）+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
當(dāng)n是奇數(shù)時，S=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+（a₆+a₇）+…+（a_n-1+a_n）
運(yùn)用整體求解即可．
（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=a₁+2n-2，a_n+1=2n+5-a₁，得出2a₁²-14a₁≥-8n²+4n-17，構(gòu)造函數(shù)最值求解，
當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=2n+3-a₁，a_n+1=2n+a₁，得出2a₁²-6a₁≥-8n²+4n+3，構(gòu)造函數(shù)最值求解，

解答： 解：（1）∵a_n+1+a_n=4n+3．
∴a₂+a₁=7，a₃+a₂=11，
∴a₃-a₁=4，
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴2d=4，d=2，
∴2a₁+d=7，a₁=

5

2

．

（2）當(dāng)a₁=2時，a_n+1+a_n=4n+3．a(chǎn)_n+2+a_n+1=4（n+1）+3=4n+7，
∴a_n+2-a_n=4，a₂+a₁=7，a₂=5，a₃=6，
∴可判斷奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別構(gòu)成等差數(shù)列，公差為4，首項(xiàng)分別為2，5．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n，
∵a_n+1+a_n=4n+3．
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，S=（a₁+a₂）+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=7+15+23+…+（4n-1）=

n 2 (7+4n-1)

2

=n²+

3n

2

，
當(dāng)n是奇數(shù)時，S=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+（a₆+a₇）+…+（a_n-1+a_n）
=2+11+19+27+…+（4n-1）=2+

1

2

×

n-1

2

×（11+4n-1）=
=n²+

3

2

n-

1

2

．

（3）∵判斷奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別構(gòu)成等差數(shù)列，公差為4，首項(xiàng)分別為2，5．
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=a₁+2n-2，a_n+1=2n+5-a₁，
∵

an2+an+12

an+an+1

≥4，
∴2a₁²-14a₁≥-8n²+4n-17，
令f（n）=-8n²+4n-17，
f（n）_最大值=f（1）=-21
∴2a₁²-14a₁+21≥0
∴a₁≥

7+ 7

2

或a₁≤

7

2

-

7

2

，
當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=2n+3-a₁，a_n+1=2n+a₁，
∵

an2+an+12

an+an+1

≥4，
∴2a₁²-6a₁≥-8n²+4n+3，
令g（n）=-8n²+4n+3
∴g（n）_最大值=g（2）=-21，
∴2a₁²-6a₁+21≥0，
△=36-168＜0，
∴a₁∈R，
綜上：對任意n∈N^*，都有

an2+an+12

an+an+1

≥4成立，a₁的取值范圍為：（-∞，+∞）．

點(diǎn)評：本題綜合考察數(shù)列與函數(shù)，等式，知識的結(jié)合，分類思想的運(yùn)用，整體思想的運(yùn)用，屬于難題．