Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=

1

2

，且滿足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）求證：

S

2 1

+S

2 2

+…+S

2 n

≤

1

2

-

1

4n

．

Answer 1

分析：（1）由已知結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)與和之間的遞推關(guān)系可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)可求

1

Sn

，進(jìn)而可求
（2）先檢驗(yàn)n=1時(shí)，然后n≥2時(shí)，Sn=

1

4n2

代入不等式的左邊，利用放縮

1

n2

＜

1

n(n-1)

及裂項(xiàng)求和即可證明

解答：解：（1）∵a_n+2S_nS_n-1=0
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0
兩邊同時(shí)除以S_nS_n-1可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∵

1

S1

=

1

a1

=2
∴數(shù)列{

1

Sn

}是以2為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列
∴

1

Sn

=2+2(n-1)=2n------------------------（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=-2S_nS_n-1=-2×

1

2n

×

1

2n-2

=-

1

2n(n-1)

而a1=

1

2

∴an=

1 2 ，n=1 - 1 2n(n-1) ，n≥2

-----------------------------------（6分）
證明：（2）∵n≥2時(shí)，Sn=

1

4n2

n=1時(shí)S12=

1

4

≤

1

4

 成立
n＞1時(shí)，左式=

1

4

(1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
≤

1

4

[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=

1

4

[1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

]
=

2- 1 n

4

=

1

2

-

1

4n

∴

S

2 1

+S

2 2

+…+S

2 n

≤

1

2

-

1

4n

．---------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式及數(shù)列的裂項(xiàng)求和在不等式的證明中的應(yīng)用．