Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n-

1

n(n+1)

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=na_n•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=a_n-

1

n(n+1)

移向得出a_n+1-a_n=-

1

n(n+1)

=

1

n+1

-

1

n

，再利用疊加法求通項(xiàng)．
（Ⅱ）（Ⅱ）b_n=na_n•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ，根據(jù)通項(xiàng)公式特點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，利用錯(cuò)位相消法求和．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=a_n-

1

n(n+1)

移向得a_n+1-a_n=-

1

n(n+1)

=

1

n+1

-

1

n

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（

1

n

-

1

n-1

）+（

1

n-1

-

1

n-2

）+…+（

1

2

-

1

1

）+2
=

1

n

+1．
當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

1

n

+1．
（Ⅱ）b_n=na_n•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ，
s_n=2×2¹+3×2²+…+（n+1）×2ⁿ，①
2s_n=2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②
兩式相減得：
-s_n=2×2¹+2²+2³…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=4+

22(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，數(shù)列求和，考查了裂項(xiàng)、疊加，錯(cuò)位相消法在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用體現(xiàn)．