Question

（2008•深圳二模）（幾何證明選講選做題）如圖，已知EB是半圓O的直徑，A是BE延長線上一點，AC切半圓O于點D，BC⊥AC于C，DF⊥EB于點F，若BC=6，AC=8，則DF=

3

．

Answer 1

分析：由已知中EB是半圓O的直徑，A是BE延長線上一點，AC切半圓O于點D，BC⊥AC于C，連接OD，由切線的性質可得，OD⊥AC，則△AOD∽△ABC，再根據BC=6，AC=8，結合相似三角形對應邊成比例，即可求出半徑的長，進而得到AE，AD的長．即可求出DF．

解答：解：連接OD，設半徑為x．
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10
∵AC切半圓O于點D，
∴OD⊥AC，AEAC
又∵BC⊥AC于C，
∴OD∥BC，

OD

BC

=

AO

AB

⇒

x

6

=

10-x

10

⇒x=

15

4

．
則△AOD∽△ABC
則

OD

BC

=

AO

AB

=

AE

AC

∴AE=

5

2

，AD=5
∵sin∠DAE=

OD

OA

=

DF

AD

，
∴DF=

OD•AD

OA

=

15 4 ×5

10- 15 4

=3．
故答案為：3．

點評：本題考查的知識點是與圓有關的比例線段，其中根據切線的性質及相似三角形的判定定理得到△AOD∽△ABC是解答本題的關鍵．