Question

若正方形P₁P₂P₃P₄的邊長為1，集合M={x|x=

P1P3

•

PiPj

且i，j∈{1，2，3，4}}，則對于下列命題：
①當(dāng)i=1，j=3時(shí)，x=2；
②當(dāng)i=3，j=1時(shí)，x=0；
③當(dāng)x=1時(shí)，（i，j）有4種不同取值；
④當(dāng)x=-1時(shí)，（i，j）有2種不同取值；
⑤M中的元素之和為0．
其中正確的結(jié)論序號為

 

．（填上所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：建系如圖，則P₁（0，1），P₂（0，0），P₃（1，0），P₄（1，1），由于集合M={x|x=

P1P3

•

PiPj

且i，j∈{1，2，3，4}}，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算對①②③④⑤五個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．

解答： 解：建立直角坐標(biāo)系如圖：
則P₁（0，1），P₂（0，0），P₃（1，0），P₄（1，1）．
∵集合M={x|x=

P1P3

•

PiPj

且i，j∈{1，2，3，4}}，
對于①，當(dāng)i=1，j=3時(shí)，x=

P1P3

•

P1P3

=（1，-1）•（1，-1）=1+1=2，故①正確；
對于②，當(dāng)i=3，j=1時(shí)，x=

P1P3

•

P3P1

=（1，-1）•（-1，1）=-2，故②錯(cuò)誤；
對于③，∵集合M={x|x=

P1P3

•

PiPj

且i，j∈{1，2，3，4}}，
∴

P1P3

=（1，-1），

P1P2

=

P4P3

=（0，-1），

P1P4

=

P2P3

=（1，0），
∴

P1P3

•

P1P2

=1；

P1P3

•

P4P3

=1；

P1P3

•

P1P4

=1；

P1P3

•

P2P3

=1；
∴當(dāng)x=1時(shí)，（i，j）有4種不同取值，故③正確；
④同理可得，當(dāng)x=-1時(shí)，（i，j）有4種不同取值，故④錯(cuò)誤；
⑤由以上分析，可知，當(dāng)x=1時(shí)，（i，j）有4種不同取值；當(dāng)x=-1時(shí)，（i，j）有4種不同取值，當(dāng)i=1，j=3時(shí)，x=2時(shí)，當(dāng)i=3，j=1時(shí)，x=-2；
當(dāng)i=2，j=4，或i=4，j=2時(shí)，x=0，
∴M中的元素之和為0，故⑤正確．
綜上所述，正確的序號為：①③⑤，
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立直角坐標(biāo)系，求得

P1P3

=（1，-1），

P1P2

=

P4P3

=（0，-1），

P1P4

=

P2P3

=（1，0）是關(guān)鍵，考查分析、化歸與運(yùn)算求解能力，屬于難題．