Question

設(shè)f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)．且x＜0時(shí)，f′（x）g（x）+g′（x）f（x）＜0且g（3）=0，則不等式：f（x）g（x）＜0的解集為（　　）

A．（-3，0）∪（3，+∞）

B．（-3，0）∪（0，3）

C．（-∞，-3）∪（3，+∞）

D．（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）g（x），利用已知可判斷出其奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而即可得出不等式的解集．

解答：解：令h（x）=f（x）g（x），則h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），
因此函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)．
①∵當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
∴h（x）在x＜0時(shí)單調(diào)遞增，
故函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．
∵h(yuǎn)（-3）=f（-3）g（-3）=-f（3）g（3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），∴x＜-3．
②當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)，可知：h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＜0，的解集為（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故選C．

點(diǎn)評：恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．