Question

10．若向量$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow c}|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-1$，則$\overrightarrow a•\overrightarrow c+\overrightarrow b•\overrightarrow c$的最大值是（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義可得$＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞={135°}$，不妨設(shè)$\overrightarrow a=（1，1）$，$\overrightarrow b=（-1，0）$，設(shè)$\overrightarrow c=（x，y）$，運(yùn)用向量的數(shù)量積的加減和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求最大值．

解答 解：根據(jù)題意，向量$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow c}|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-1$，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}}$，
由于0°≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤180°，
即有$＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞={135°}$，不妨設(shè)$\overrightarrow a=（1，1）$，$\overrightarrow b=（-1，0）$，
設(shè)$\overrightarrow c=（x，y）$，且x²+y²=3，易知$|y|≤\sqrt{3}$
則$\overrightarrow a•\overrightarrow c+\overrightarrow b•\overrightarrow c=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow c=（0，1）•（x，y）=y≤\sqrt{3}$．
當(dāng)x=0，y=$\sqrt{3}$時(shí)，取得最大值$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．