Question

12．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，$AC=2\sqrt{3}$，$A{A_1}=\sqrt{3}$，AB=2，點D在棱B₁C₁上，且B₁C₁=4B₁D．
（Ⅰ）求證：BD⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角B-A₁D-B₁的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，求出相關(guān)點的坐標，求出$\overrightarrow{BD}=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（0，2\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$．通過數(shù)量積為0，證明 BD⊥A₁C．
（Ⅱ）求出平面A₁DB的一個法向量，平面A₁DB₁的一個法向量，利用斜率的數(shù)量積求解二面角B-A₁D-B₁的平面角即可．

解答 （本小題滿分13分）
（Ⅰ）證明：因為 ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，
所以 AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．
又 AB⊥AC，
所以 AB，AC，AA₁兩兩互相垂直．（1分）
如圖，以A為原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．（2分）
則 B（2，0，0），$C（0，2\sqrt{3}，0）$，${A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，${B_1}（2，0，\sqrt{3}）$，${C_1}（0，2\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．
由 $\overrightarrow{{B_1}D}=\frac{1}{4}\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，得$D（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}）$．（3分）
所以 $\overrightarrow{BD}=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（0，2\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$．
因為 $\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{{A_1}C}=3-3=0$，（4分）
所以 BD⊥A₁C．（5分）
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{BD}=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（2，0，-\sqrt{3}）$．
設(shè)平面A₁DB的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0.\end{array}\right.$（7分）
所以 $\left\{\begin{array}{l}2{x_1}-\sqrt{3}{z_1}=0\\-\frac{1}{2}{x_1}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0.\end{array}\right.$取z₁=1，得$\overrightarrow{m}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}，1）$．（9分）
又平面A₁DB₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），（10分）
所以 $cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}|=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}+1}}=\frac{1}{2}$，（12分）
因為二面角B-A₁D-B₁的平面角是銳角，
所以二面角B-A₁D-B₁的大小是60°．（13分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，直線與直線垂直的證明，考查空間想象能力以及計算能力．