Question

設命題p：?x∈R，x²+2ax-a=0．命題q：?x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1．如果命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：?x∈R，x²+2ax-a=0，∴命題p為真時a的范圍為a≥0或a≤-1．?x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1，∴命題q為真時a的范圍為a≥2或a≤-2．∵命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題∴p與q是一個為真一個為假．所以a∈（-2，-1]∪[0，2）

解答：解：∵?x∈R，x²+2ax-a=0．
∴方程x²+2ax-a=0有解
∴△=4a²+4a≥0即a≥0或a≤-1
∴命題p為真時a的范圍為a≥0或a≤-1
∵?x∈R，ax²+4x+a≥-2x²+1
∴（a+2）x²+4x+a-1≥0在R上恒城立
∴顯然a=-2時不恒成立，因此有

a+2＞0 △=16-4(a+2)(a-1)≤0

，
解得a≥2，
∴命題q為真時a的范圍為a≥2．
又∵命題“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題
∴p與q是一個為真一個為假
所以a∈（-∞，-1]∪[0，2）
所以實數a的取值范圍為（-∞，-1]∪[0，2）．

點評：解決此類問題的關鍵是先求出命題為真時實數a的范圍，并求出命題為假時a的范圍，然后根據復合命題真假作出判斷．