Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=sin|x|的最小正周期為π；
②若函數(shù)f(x)=log2(x2-ax+1)的值域?yàn)镽，則-2＜a＜2；
③若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）=-f（2-x），且最小正周期為3，則f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

1

2

，0)對(duì)稱(chēng)；
④極坐標(biāo)方程 4sin²θ=3 表示的圖形是兩條相交直線；
⑤若函數(shù)f(x)=(1+x)

1

x

(x＞0)，則存在無(wú)數(shù)多個(gè)正實(shí)數(shù)M，使得|f（x）|≤M成立；
其中真命題的序號(hào)是

③④⑤

．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于①，由于函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù)，故排除之．對(duì)于②，由題意知對(duì)于二次函數(shù)y=x²-ax+1，應(yīng)有△=a²-4＞0，解得a的范圍即可進(jìn)行判斷；對(duì)于③，若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）=-f（2-x），則 f（x）+f（2-x）=0．再由f（x）的最小正周期為3，可得f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，故③正確．對(duì)于④，將極坐標(biāo)方程 4sin²θ=3 化成直角坐標(biāo)方程后判斷．⑤先畫(huà)出函數(shù)f(x)=(1+x)

1

x

(x＞0)的圖象，從圖象上觀察可知．

解答：解：由于函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù)，故排除①．
若函數(shù)f(x)=log2(x2-ax+1)的值域?yàn)镽，則對(duì)于二次函數(shù)y=x²-ax+1，應(yīng)有△=a²-4＞0，解得 a＜-2，或 a＞2，故排除②．
若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）=-f（2-x），則 f（x）+f（2-x）=0．再由f（x）的最小正周期為3，可得 f（x-3）+f（2-x）=0．
由于

(x-3)+(2-x)

2

=-

1

2

，故f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，故③正確．
由于極坐標(biāo)方程 4sin²θ=3 即 4ρ²sin²θ=3ρ²，即 4y²=3（x²+y²），即 y=±

3

x，故表示的圖形是兩條相交直線，故④正確．
⑤如圖，從函數(shù)f(x)=(1+x)

1

x

(x＞0)的圖象上觀察可知，當(dāng)x＞0時(shí)，其最大值不超過(guò)3，
故當(dāng)M＞3時(shí)，即存在無(wú)數(shù)多個(gè)正實(shí)數(shù)M，使得|f（x）|≤M成立；故⑤正確．
其中真命題的序號(hào)是 ③④⑤．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．