Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設(shè)E為PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)異面直線BP與CD所成角為45°，AP=1，AD=$\sqrt{3}$，求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）連BD交AC于F，推導(dǎo)出PB∥EF，由此能證明PB∥平面AEC；
（2）由AB∥CD，知異面直線BP與CD所成角的平面角為∠ABP=45°，由此能求出三棱錐E-ACD的體積．

解答 證明：（1）連BD交AC于F，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，
連EF又在三角形PBD中，E為PD的中點(diǎn)，
∴PB∥EF，
∵EF⊆平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（2）∵AB∥CD，
∴異面直線BP與CD所成角的平面角為∠ABP=45°，
∴AB=AP=1，
∴${V_{E-ACD}}=\frac{1}{2}{V_{P-ACD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．