Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

（Ⅰ）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導，令f′（x）=0得x=-a，以-a在[1，e]內(nèi)，左，右分為三類來討論，函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，進而求出最值，令其等于

3

2

，求出a的值，由范圍來取舍，得了a的值．
（Ⅱ）將f（x）代入不等式，分離出a，寫在不等式的左邊，設(shè)右邊為函數(shù)h（x），求導，再求導，得出導數(shù)的正負，從而得出h'（x）的單調(diào)性，求最值，得出h'（x）的正負，得出h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最小值，得出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1時，f（x）在[1，e]上單增，f（x）最小值=f（1）=-a=

3

2

，a=-

3

2

＜-1，不符，舍；
②-a≥e，即a≤-e時，f（x）在[1，e]上單減，f（x）最小值=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，a=-

e

2

＞-e，不符，舍；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1時，f（x）在[1，-a]上單減，在[-a，e]上單增，f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，a=-e

1

2

，滿足；
綜上a=-e

1

2

．
（Ⅱ）由題意，只需a＞xlnx-x³，x∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=xlnx-x³，h'（x）=lnx+1-3x²，h''（x）=

1

x

-6x=

1-6x2

x

＜0 在（1，+∞）上恒成立，
∴h'（x）在（1，+∞）上單減，又h'（1）=-2＜0，
∴h'（x）＜0 在（1，+∞）上恒成立，h（x）在（1，+∞）上單減，又h（1）=-1，
∴h（x）＜-1在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥-1．

點評：會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，要確定函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論思想的應(yīng)用，掌握不等式恒成立時所取的條件．