【題目】設,正項數(shù)列的前項的積為,且,當時, 都成立.
(1)若, , ,求數(shù)列的前項和;
(2)若, ,求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1) (2)
【解析】試題分析:(1)直接利用遞推關系式求出數(shù)列的通項公式.
(2)根據(jù)已知條件和數(shù)列的等量關系求出數(shù)列的通項公式.
試題解析:
(1)當n≥2時,因為M={1},所以=TnT1,可得an+1=ana1,
故=a1=3(n≥2).
又a1=,a2=3,則{an}是公比為3的等比數(shù)列,
故{an}的前n項和為=3n﹣.
(2)當n>k時,因為=TnTk,所以=Tn+1Tk,
所以=,即=an+1,
因為M={3,4},所以取k=3,當n>3時,有an+4an﹣2=an+12;
取k=4,當n>4時,有an+5an﹣3=an+12.
由an+5an﹣3=an+12 知,
數(shù)列a2,a6,a10,a14,a18,a22,…,a4n﹣2,…,是等比數(shù)列,設公比為q.…①
由an+4an﹣2=an+1 知,
數(shù)列a2,a5,a8,a11,a14,a17,…,a3n﹣1,…,是等比數(shù)列,設公比為q1,…②
數(shù)列a3,a6,a9,a12,a15,a18,…,a3n,…,成等比數(shù)列,設公比為q2,…③
數(shù)列a4,a7,a10,a13,a16,a19,a22,…,a3n+1,…,成等比數(shù)列,設公比為q3,…④
由①②得, =q3,且=q14,所以q1=;
由①③得, =q3,且=q24,所以q2=;
由①④得, =q3,且=q34,所以q3=;
所以q1=q2=q3=.
由①③得,a6=a2q,a6=a3q2,所以==,
由①④得,a10=a2q2,a10=a4q32,所以=,
所以a2,a3,a4是公比為q的等比數(shù)列,所以{an}(n≥2)是公比為q的等比數(shù)列.
因為當n=4,k=3時,T7T1=T42T32;
當n=5,k=4時,T9T1=T52T42,
所以()7=2a24,且()10=2a26,所以=2,a2=2.
又a1=,所以{an}(n∈N*)是公比為的等比數(shù)列.
故數(shù)列{an}的通項公式是an=2n﹣1.
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【題目】2016年1月1日,我國全面實行二孩政策,某機構進行了街頭調查,在所有參與調查的青年男女中,持“響應”“猶豫”和“不響應”態(tài)度的人數(shù)如下表所示:
響應 | 猶豫 | 不響應 | |
男性青年 | 500 | 300 | 200 |
女性青年 | 300 | 200 | 300 |
根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為猶豫與否與性別有關?請說明理由.
猶豫 | 不猶豫 | 總計 | |
男性青年 | |||
女性青年 | |||
總計 | 1800 |
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】選修4 — 4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為().
(1)分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)已知點,直線與曲線相交于兩點,若,求的值.
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【題目】設分別是正方體的棱上兩點,且,給出下列四個命題正確的是( )
A.異面直線與所成的角為
B.平面
C.三棱錐的體積為定值;
D.直線與平面所成的角為.
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【題目】如圖所示,正三角形的中線與中位線相交于點,已知是繞旋轉過程中的一個圖形,現(xiàn)給出下列四個命題,其中正確的命題的序號是( )
A.動點在平面上的射影在上
B.恒有平面平面
C.三棱錐的體積有最大值
D.直線與不可能垂直
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【題目】已知橢圓C:的兩個焦點分別為,點M(1,0)與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點M(1,0)的直線與橢圓C相交于A、B兩點,設點N(3,2),記直線AN、BN的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2為定值.
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【題目】已知函數(shù)在處取得極小值.
(1)求實數(shù)的值;
(2)設,其導函數(shù)為,若的圖象交軸于兩點且,設線段的中點為,試問是否為的根?說明理由.
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【題目】設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),則下列結論正確的是( )
①P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0);②P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0);③P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0);④P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0).
A. ①② B. ②③
C. ①④ D. ②④
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