Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）當(dāng)a∈（-∞，-2）時(shí)，求證：a∉M；
（2）當(dāng)a∈（0，]時(shí)，求證：a∈M；
（3）當(dāng)a∈（，+∞）時(shí)，判斷元素a與集合M的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果a＜-2，由題設(shè)條件知|a₁|=|a|＞2，a∉M．
（2）由題高級(jí)條件知當(dāng)時(shí)，（?n≥1）．由數(shù)學(xué)歸納法可以證出對(duì)任意n∈N^*，|a_n|≤＜2，所以a∈M．
（3）當(dāng)時(shí)，a∉M．由題設(shè)條件可以推導(dǎo)出．當(dāng)時(shí)，，由此可知a_n+1＞2，因此a∉M．
解答：證明：（1）如果a＜-2，則|a₁|=|a|＞2，a∉M．（2分）
（2）當(dāng)時(shí)，（?n≥1）．
事實(shí)上，〔i〕當(dāng)n=1時(shí)，．
設(shè)n=k-1時(shí)成立（k≥2為某整數(shù)），
則〔ii〕對(duì)n=k，．
由歸納假設(shè)，對(duì)任意n∈N^*，|a_n|≤＜2，所以a∈M．（6分）
（3）當(dāng)時(shí)，a∉M．證明如下：
對(duì)于任意n≥1，，且a_n+1=a_n²+a．
對(duì)于任意n≥1，，
則．
所以，．
當(dāng)時(shí)，，
即a_n+1＞2，因此a∉M．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．