Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），對于任意實數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）求當x＜0時，f（x）的取值范圍；
（3）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用賦值法，令m=0，n＞0，則有f（n）=f（0+n）=f（0）•f（n）結合題中條件：“n＞0時，0＜f（n）＜1”，即可求出f （0）；
（2）根據(jù)f（m+n）=f（m）•f（n）恒成立，考慮取x=0代入，可得f（0）=1，再取x=-y，可得f（-y）=，再結合條件x＞0時，有0＜f（x）＜1，經(jīng)過變形化簡可得x＜0時，0＜f（x）＜1成立．
（3）這是抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，應該用單調(diào)性定義解決．對差的符號進行判斷時要注意根據(jù)其形式結合（2）的結論選擇判斷的方式．
解答：解：（1）令m=0，n＞0，則有f（n）=f（0+n）=f（0）•f（n）
又由已知，n＞0時，0＜f（n）＜1，
∴f （0）=1
（2）設x＜0，則-x＞0f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x）=1
則 ，
又∵-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）∈（1，+∞）
（3）f（x）在R上的單調(diào)遞減
證明：設x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂
又x₁=（x₁-x₂）+x₂，由已知f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）
∴…（16分），
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，由（2）得f（x₁-x₂）＞1
∴，又由（1）、（2），，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上的單調(diào)遞減
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、抽象函數(shù)及其應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．