Question

2010年11月在廣州召開(kāi)亞運(yùn)會(huì)，某小商品公司開(kāi)發(fā)一種亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過(guò)改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明：如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x²，記改進(jìn)工藝后，該公司銷售紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)是y（元）．
（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使該公司銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析：（1）確定改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)，月平均銷售，可得月平均利潤(rùn)函數(shù)；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的極值，可得最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20（1+x）元，月平均銷售a（1-x²）件，
則月平均利潤(rùn)y=a（1-x²）[20（1+x）-15]=5a（1+4x-x²-4x³）（0＜x＜1）；
（2）求導(dǎo)數(shù)可得，y′=5a（4-2x-12x²）（0＜x＜1）
令y′=0可得x=

1

2

或x=-

2

3

（舍去）
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，y′＞0；當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，y′＜0，
∴x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大值為

45

4

a
∴改進(jìn)工藝后，紀(jì)念品的售價(jià)為20（1+

1

2

）=30，該公司銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大為

45

4

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，確立函數(shù)模型是關(guān)鍵．