Question

已知直線l：y=x+b（b∈R）與圓C：（x-a）²+y²=8（a＞0）．
（1）若直線l與圓C相切于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求圓C的方程；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，是否存在a，使得直線l與⊙C相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足

OA

•

OB

=-1，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）法一：依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，b），根據(jù)直線l與圓C相切于點(diǎn)P，可得CP⊥l，利用P（0，b）在圓C上，即可求得a=b=2，從而可求圓的方程；
法二：依題意，所求圓與直線x-y+b=0相切于點(diǎn)P（0，b），則

a2+b2=8 |a-0+b| 2 =2 2 a＞0

，即可求得a=b=2，從而可求圓的方程；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，假設(shè)存在a，使直線l：y=x+2與圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組

y=x+2 (x-a)2+y2=8

  消去y得  2x²+（4-2a）x+a²-4=0，利用韋達(dá)定理可得x₁+x₂=a-2，x1•x2=

a2-4

2

，利用

OA

•

OB

=-1，可得關(guān)于a的方程，從而可求a的值，進(jìn)而檢驗(yàn)可知滿足條件的a存在．

解答：解：（1）法一：依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，b），…（1分）
∵CP⊥l，∴

0-b

a-0

×1=-1，得b=a，…（1分）
又P（0，b）在圓C上，∴a²+b²=8，…（1分）
又∵a＞0從而解得a=b=2，故所求圓的方程為（x-2）²+y²=8．…（2分）
法二：依題意，所求圓與直線x-y+b=0相切于點(diǎn)P（0，b），
則

a2+b2=8 |a-0+b| 2 =2 2 a＞0

，解得

a=2 b=2

，故所求圓的方程為（x-2）²+y²=8．
（2）當(dāng)b=2時(shí)，假設(shè)存在a，使直線l：y=x+2與圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
聯(lián)立方程組

y=x+2 (x-a)2+y2=8

  消去y得  2x²+（4-2a）x+a²-4=0
∴x₁+x₂=a-2，x1•x2=

a2-4

2

，…（2分）
又∵y₁•y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4
∴

OA

•

OB

=x1•x2+y1•y2=2x1•x2+2(x1+x2)+4=（a²-4）+2（a-2）+4=-1
即：a²+2a-3=0，解得：a=1或a=-3…（3分）
又∵△=（4-2a）²-8（a²-4）＞0，得a²+4a-12＜0⇒-6＜a＜2，
而a＞0，
∴0＜a＜2
故存在a=1，使得直線l與⊙C相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足

OA

•

OB

=-1…（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題以直線與圓為載體，考查直線與圓相切，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是將向量運(yùn)算坐標(biāo)化，從而建立方程，應(yīng)注意方程判別式的驗(yàn)證．