【題目】如圖，在直三棱柱中，點分別為線段的中點.

（1）求證：平面；

（2）若在邊上，，求證：.

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由題意，利用三角形中位線定理可證MN∥BC，即可判定MN∥平面；（2）利用線面垂直的性質(zhì)可證CC1⊥AD，結(jié)合已知可證AD⊥平面，從而證明AD⊥BC，結(jié)合（1）知，MN∥BC，即可證明MN⊥AD

試題解析：（1）如圖，連結(jié)A1C．

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C為平行四邊形．

又因為N為線段AC1的中點，

所以A1C與AC1相交于點N，

即A1C經(jīng)過點N，且N為線段A1C的中點． ……………… 2分

因為M為線段A1B的中點，

所以MN∥BC． ……………… 4分

又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，

所以MN∥平面BB1C1C． ………………… 6分

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．

又AD平面ABC，所以CC1⊥AD． …………………… 8分

因為AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，

所以AD⊥平面BB1C1C． …………………… 10分

又BC平面BB1C1C，所以AD⊥BC． …………………… 12分

又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD． …………………… 14分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】已知橢圓的中心為坐標原點，其離心率為，橢圓的一個焦點和拋物線的焦點重合．

（1）求橢圓的方程

（2）過點的動直線交橢圓于、兩點，試問：在平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點，若存在，說出點的坐標，若不存在，說明理由．

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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品均需用兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需用原料及每天原料的可用限額如下表所示，如果生產(chǎn)1噸甲，乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)可獲得最大利潤為__________萬元.

甲

乙

原料限額

A(噸)

3

2

12

B(噸)

1

2

8

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線的左焦點在直線上．

（1）若直線與曲線交于兩點，求的值；

（2）求曲線的內(nèi)接矩形的周長的最大值．

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【題目】圍建一個面積為360的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為（單位：），修建此矩形場地圍墻的總費用為（單位：元）

（1）將表示為的函數(shù)；

（2）試確定,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）證明：當時，；

（3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，實半軸長為．

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線有兩個不同的交點和，且（其中為原點），求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動圓過定點，且與直線相切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）過（1）中軌跡上的點作兩條直線分別與軌跡相交于兩點，試探究：當直線的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（I）若函數(shù)在點處的切線方程為，求的值；

（II）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

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