設函數(shù)f(x)在其定義域D上的導函數(shù)為f′(x).如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x),其中h(x)對任意的x∈D都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).給出下列四個函數(shù):
①f(x)=x3-x2+x+1;
②f(x)=lnx+;
③f(x)=(x2-4x+5)ex;
④f(x)=,
其中具有性質(zhì)P(2)的函數(shù)是    .(寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號)
【答案】分析:因為a=2,所以先求出函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x),然后將其配湊成f′(x)=h(x)(x2-2x+1)這種形式,分別求出h(x),然后確定h(x)是否滿足對任意的x∈D都有h(x)>0.
解答:解:①f'(x)=x2-2x+1,若f′(x)=h(x)(x2-2x+1),即x2-2x+1=h(x)(x2-2x+1),
    所以h(x)=1>0,滿足條件,所以①具有性質(zhì)P(2).
②函數(shù)f(x)=lnx+的定義域為(0,+∞).,
所以,當x∈(0,+∞)時,h(x)>0,所以②具有性質(zhì)P(2).
③f'(x)=(2x-4)ex+(x2-4x+5)ex=(x2-2x+1)ex,所以h(x)=ex,因為h(x)>0,所以③具有性質(zhì)P(2).
,若,
,因為h(1)=0,所以不滿足對任意的x∈D都有h(x)>0,所以④不具有性質(zhì)P(2).
故答案為:①②③.
點評:本題的考點是導數(shù)的運算以及通過條件求h(x),本題的關鍵是通過關系式確定函數(shù)h(x)的表達式,然后判斷條件是否成立.運算量較大.
練習冊系列答案
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設函數(shù)f(x)=ax+
1x+b
(a,b∈Z)
,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=3.
(Ⅰ)求f(x)的解析式:
(Ⅱ)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心;
(Ⅲ)證明:曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.

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(Ⅰ)求f(x)的解析式,并判斷函數(shù)y=f(x)的圖象是否為中心對稱圖形?若是,請求其對稱中心;否則說明理由.
(II)證明:曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.
(III) 將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移一個單位后與拋物線y=ax2(a為非0常數(shù))的圖象有幾個交點?(說明理由)

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(II)證明:曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.
(III) 將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移一個單位后與拋物線y=ax2(a為非0常數(shù))的圖象有幾個交點?(說明理由)

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(Ⅱ)證明:函數(shù)y=f(x)的圖像是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心;

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