Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)為,左、右頂點(diǎn)分別為,過點(diǎn)且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn),橢圓的離心率為,．

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上不同兩點(diǎn)，軸，圓過點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓內(nèi)，則稱圓為該橢圓的內(nèi)切圓．問橢圓是否存在過點(diǎn)的內(nèi)切圓？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）存在

【解析】

試題分析：（1）由離心率為，傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，.通過聯(lián)立直線方程與橢圓的方程，可求得的值.即可得結(jié)論.

（2）依題意可得符合要求的圓E，即為過點(diǎn), 的三角形的外接圓.所以圓心在x軸上.根據(jù)題意寫出圓E的方程.由于圓的存在必須要符合，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值是，結(jié)合圖形可得圓心在線段上，半徑最小.又由于點(diǎn)F已知，即可求得結(jié)論.

試題解析：（1）因?yàn)殡x心率為，所以，

所以橢圓方程可化為：，直線的方程為， 2分

由方程組，得：,即, 4分

設(shè)，則， 5分

又，

所以，所以，橢圓方程是； 7分

（2）由橢圓的對稱性，可以設(shè)，點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)，

則圓的方程為，

由內(nèi)切圓定義知道，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值是，

設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則, 9分

當(dāng)時(shí)，最小，所以① 10分

又圓過點(diǎn)，所以② 11分

點(diǎn)在橢圓上，所以③ 12分

由①②③解得：或，

又時(shí)，，不合，

綜上：橢圓存在符合條件的內(nèi)切圓，點(diǎn)的坐標(biāo)是． 13分

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)求橢圓方程.2.函數(shù)的最值.3.方程的思想解決解決解幾問題.3.歸納化歸的思想.4.運(yùn)算能力.