Question

高三第一學(xué)期期末四校聯(lián)考數(shù)學(xué)第I卷中共有8道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的；評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分．”某考生每道題都給出一個(gè)答案，已確定有5道題的答案是正確的，而其余選擇題中，有1道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道可以判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜，試求出該考生：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）要得40分，必須全部8題做對(duì)，其余3題中，有一道做對(duì)的概率為

1

2

，有一道題目做對(duì)的概率為

1

3

，有一道做對(duì)的概率為

1

4

，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（2）由題意知可能得到的分?jǐn)?shù)是25，30，35，40，結(jié)合每一個(gè)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件做出每一種分?jǐn)?shù)的概率，比較出大�。�
（3）根據(jù)第二問(wèn)所做出的結(jié)果，列出隨機(jī)變量的分布列，算出期望值．

解答：解：（1）某考生要得40分，必須全部8題做對(duì)，其余3題中，有一道做對(duì)的概率為

1

2

，
有一道題目做對(duì)的概率為

1

3

，有一道做對(duì)的概率為

1

4

，
∴所得40分的概率為P=

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

24

（2）依題意，該考生得分的范圍為25，30，35，40
得25分做對(duì)了5題，其余3題都做錯(cuò)了，
∴概率為P1=

1

2

•

2

3

•

3

4

=

1

4

得30分是做對(duì)5題，其余3題只做對(duì)1題，
∴概率為P2=

1

2

•

2

3

•

3

4

+

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

=

11

24

得35分是做對(duì)5題，其余3題做對(duì)2題，
∴概率為P3=

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

+

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

4

得40分是做對(duì)8題，
∴概率為P4=

1

24

∴得30分的可能性最大
（3）由（2）得ξ的分布列為：

ξ	25	30	35	40
P	1 4	11 24	1 4	1 24

∴Eξ=25•

1

4

+30•

11

24

+35•

1

4

+40•

1

24

=

730

24

=30

5

12

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率公式，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，本題是一個(gè)綜合題目