Question

有三個(gè)新興城鎮(zhèn)分別位于A、B、C三點(diǎn)處，且AB=AC=a，BC=2b，今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處（建立坐標(biāo)系如圖）．
（Ⅰ）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則P應(yīng)位于何處？
（Ⅱ）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，則P應(yīng)位于何處？

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出P至三鎮(zhèn)距離的平方和，利用配方法，可得結(jié)論；
（II）記，表示出P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)條件a＞b＞0，設(shè)P的坐標(biāo)為（0，y），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為=
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（y）取得最小值．
答：點(diǎn)P的坐標(biāo)是
（Ⅱ）記
P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為
由解得，記，
于是
當(dāng)，即h≥b時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125604426208101/SYS201310251256044262081018_DA/12.png">在[y^*，+∞）上是增函數(shù)，而|h-y|在（-∞，y^*]上是減函數(shù)．
所以y=y^*時(shí)，函數(shù)g（y）取得最小值．點(diǎn)P的坐標(biāo)是
當(dāng)，即h＜b時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125604426208101/SYS201310251256044262081018_DA/15.png">在[y^*，+∞）上當(dāng)y=0函數(shù)g（y）取得最小值b，而|h-y|在（-∞，y^*]上是減函數(shù)，且|h-y|＞b，所以y=0時(shí)，函數(shù)g（y）取得最小值．
答：當(dāng)h≥b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是；當(dāng)h＜b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，0），其中
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．