Question

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點(diǎn)M，N分別在PD，PC上，

PN

=

1

2

NC

，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證線面垂直：常用線面垂直的判定定理，即讓PC垂直于面AMN中的兩條相交直線；除此之外，由于四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，故可建立空間直角坐標(biāo)系．即用向量法解決幾何問題．
（2）求二面角的平面角的余弦值借助于面的法向量來做，即要分別找出面ABN和面AMN的法向量．

解答：解：（1）（法一）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD．∵AM?面PAD，∴CD⊥AM
∵M(jìn)是PD的中點(diǎn)，且PA=AD=2，
∴AM⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AM⊥面PCD，而PC?面PCD，∴PC⊥AM．
∵

PN

=

1

2

NC

，∴點(diǎn)N是PC的三等分點(diǎn)．
∵PC=

PA2+AC2

=

22+(2 2 )2

=2

3

，∴PN=

2 3

3

．
∵

PN

PA

=

PA

PC

=

3

3

，∠APN=∠CPA，∴△PAN=△PCA，∴∠ANP=90°，
∴AN⊥PC，又PC⊥AM且AM∩AN=A，∴PC⊥面AMN．
（法二））∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD．∵AM?面PAD，∴CD⊥AM
∵M(jìn)是PD的中點(diǎn)，且PA=AD=2，
∴AM⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AM⊥面PCD，而PC?面PCD，∴PC⊥AM．∴AN⊥PC，又PC⊥AM且AM∩AN=A，∴PC⊥面AMN．
由于四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，故可以建立分別以AB，AB，AP為X軸，Y軸，Z軸的空間直角坐標(biāo)系．
∵PA=AD=2，∴P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0），∴M（0，1，1），C（2，2，0），
∴

PC

=(2，2，-2)，

AM

=(0，1，1)，

∵PC

•

AM

=0+2-2=0，∴PC⊥AM，
設(shè)N（x，y，z），∵

PN

=

1

2

NC

，求得N(

2

3

，

2

3

，

4

3

)，
∵

PC

•

AN

=

4

3

+

4

3

-

8

3

=0，∴AN⊥PC．
又PC⊥AM，且AM∩AN=A，∴PC⊥面AMN．
（2）設(shè)平面BAN的法向量為

n

=(x，y，z)，∵

n • AB =0 n • AN =0

，∴

n

=(0，2，-1)．
∵

PC

=(2，2，-2)是平面AMN的法向量，∴cos＜

n

，

PC

＞=

n • PC

| n |•| PC |

=

15

5

，
∴二面角B=AN-M的余弦值為-

15

5

．

點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力；用空間向量的方法證明立體幾何問題是我們理科生特別要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容．