Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2S_n，設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{{a}_{n}}}$，若存在正整數(shù)p，q（p＜q），使得b₁，b_p，b_q成等差數(shù)列，則p+q=5．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2S_n，n=1時(shí)，a₁a₂=2S₁=2a₁，解得a₂=2．n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1），a_n≠0，可得a_n+1-a_n-1=2．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=n．b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．根據(jù)存在正整數(shù)p，q（p＜q），使得b₁，b_p，
b_q成等差數(shù)列，可得2b_p=b₁+b_q，$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}+\frac{q}{{3}^{q}}$（*）．根據(jù)數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，通過分類討論即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n•a_n+1=2S_n，∴n=1時(shí)，a₁a₂=2S₁=2a₁，解得a₂=2．n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n（a_n+1-a_n-1），∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴a_n=1+n-1=n．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
∵存在正整數(shù)p，q（p＜q），使得b₁，b_p，b_q成等差數(shù)列，
∴2b_p=b₁+b_q，∴$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}+\frac{q}{{3}^{q}}$（*）．
∵數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列．
當(dāng)p=1時(shí)，由$\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，解得q=1，舍去．
當(dāng)2≤p＜q時(shí)，$\frac{1}{3}≥\frac{p-1}{{3}^{p-1}}$，$\frac{p-1}{{3}^{p-1}}$-$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{p-3}{{3}^{p}}$．
當(dāng)3≤p時(shí)，$\frac{1}{3}≥\frac{p-1}{{3}^{p-1}}$≥$\frac{2p}{{3}^{p}}$，$\frac{q}{{3}^{q}}$＞0，∴$\frac{2p}{{3}^{p}}$$＜\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，（*）不成立．
∴p=2，可得：$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，解得q=3．
∴p+q=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．