Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在與x無關(guān)的正常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為有界泛函．在函數(shù)①f（x）=-5x，②f（x）=x²，③f（x）=sin²x，④，⑤f（x）=xcosx中，屬于有界泛函的有________（填上所有正確的序號）．

Answer 1

①⑤
分析：利用有界泛函的定義，確定M的值，若存在，即是有界泛函，否則不是有界泛函．
解答：①|(zhì)f（x）|=5|x|，故存在M=5，對|f（x）|≤M|x|一切實數(shù)x均成立，故是有界泛函；
②|f（x）|=|x²|≤M|x|，所以|x|≤M，故不存在這樣的M對一切實數(shù)x均成立，故不是有界泛函；
③|f（x）|=|sin²x|≤1，又|f（x）|≤M|x|，故不存在這樣的M對一切實數(shù)x均成立，故不是有界泛函；
④|f（x）|=||≥0，又|f（x）|≤M|x|，故不存在這樣的M對一切實數(shù)x均成立，故不是有界泛函；
⑤|f（x）|=|xcosx|=|cosx||x|≤|x|，故存在M=1，對|f（x）|≤M|x|一切實數(shù)x均成立，故是有界泛函；
故答案為①⑤
點評：本題主要考查了函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素，以及函數(shù)恒成立問題等知識，屬于中檔題．