Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=qⁿ-1（q＞0，且q為常數(shù)），某同學得出如下三個結論：
①{a_n}的通項是a_n=（q-1）•q^n-1；
②{a_n}是等比數(shù)列；
③當q≠1時，S_nS_n+2＜S

2 n

+1．
其中正確結論的個數(shù)為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：先根據(jù)a_n與S_n的關系式求出a_n，可判斷①的正確性；舉反例可判斷②的正確性；作差可判斷③的正確性；

解答：解：a_n=S_n-S_n-1=（qⁿ-1）-（q^n-1-1）（n≥2），即an=(q-1)qn-1(n≥2)，
而a₁=S₁=q-1，得a_n=（q-1）q^n-1（n≥1），①正確；
當q=1時，{a_n}不是等比數(shù)列，②錯誤；
當q≠1時，令t=S_nS_n+2-Sn+12=（qⁿ-1）（qⁿ⁺²-1）-（qⁿ⁺¹-1）²，則t=-qⁿ（q-1）²，顯然，t＜0，即S_nS_n+2＜Sn+12，③正確；
故選C．

點評：本題以命題為載體考查等差、等比數(shù)列的有關知識，考查學生綜合運用知識解決問題的能力，屬中檔題．